5.与向量有关的压轴小题1.(2017届山西临汾一中等五校联考)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD的值为()A.1B.2C.3D.4答案C解析方法一AD·AC＝|AD|·|AC|cos∠CAD， |AD|＝1，∴AD·AC＝|AC|cos∠CAD， ∠BAC＝＋∠DAC，∴cos∠CAD＝sin∠BAC，AD·AC＝|AC|sin∠BAC，在△ABC中，由正弦定理得＝，变形得ACsin∠BAC＝BCsinB，∴AD·AC＝|AC|sin∠BAC＝BC·＝3，故选C.方法二AD·AC＝AD·(BC－BA)＝AD·BC－AD·BA＝AD·3BD＝3AD·(BA＋AD)＝3AD·BA＋3AD·AD＝3.2.(2017届河南省豫北名校联盟精英对抗赛)已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为点O，且3OA＋4OB＋5OC＝0，则OC·AB的值为()A.B.C.－D.答案C解析 3OA＋4OB＋5OC＝0，∴4OB＋5OC＝－3OA，∴16OB2＋40OB·OC＋25OC2＝9OA2，又 |OA|＝|OB|＝|OC|＝1，∴OB·OC＝－，同理可求OA·OC＝－，∴OC·AB＝OC·(OB－OA)＝－－＝－.故选C.3.(2017·浙江温州中学月考)在△ABC中，已知AB·AC＝9，sinB＝cosA·sinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP＝x·＋y·，则xy的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案C解析由题设sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0，也即cosC＝0，∴C＝90°，又 bccosA＝9，故b2＝9，即b＝3. ab＝6，故a＝4，c＝5，故建立如图所示直角坐标系xOy，则A(3，0)，B(0，4)，则由题设可知P(x，y)，直线AB的方程为＋＝1且x＞0，y＞0，∴＋＝1≥2，即xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时“＝”成立，故选C.4.(2017·运城期中)已知点O是△ABC内部一点，且满足2OA＋3OB＋4OC＝0，则△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为()A.4∶2∶3B.2∶3∶4C.4∶3∶2D.3∶4∶5答案A解析如图所示，延长OA，OB，OC，使OD＝2OA，OE＝3OB，OF＝4OC， 2OA＋3OB＋4OC＝0，∴OD＋OE＋OF＝0，即O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则△AOB的面积为，△BOC的面积为，△AOC的面积为，故△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为∶∶＝4∶2∶3.故选A.5.若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，则|a＋b－c|的最小值为()A.－1B.1C.＋1D.答案A解析 a·b＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，∴|a＋b|＝，又 (a＋b)·c＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉，∴|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a＋b)·c＝3－2cos〈a＋b，c〉，∴当cos〈(a＋b，c)〉＝1时，|a＋b－c|＝3－2＝(－1)2，∴|a＋b－c|的最小值为－1.6.已知向量m＝(sin2x，1)，n＝，f(x)＝(m－n)·m，则函数f(x)的最小正周期与最大值分别为()A.π，3＋B.，3＋C.π，D.，3答案B解析 m－n＝，则f(x)＝(m－n)·m＝sin2x(sin2x－cos2x)＋＝sin22x－sin4x＋＝－(cos4x＋sin4x)＋3＝－sin＋3，∴f(x)的最小正周期T＝＝，最大值为3＋，故选B.7.(2017·湖北部分重点中学联考)已知P是△ABC所在平面内一点，若AP＝BC－BA，则△PBC与△ABC的面积的比为()A.B.C.D.答案A解析在线段AB上取D使AD＝AB，则AD＝－BA，过A作直线l使l∥BC，在l上取点E使AE＝BC，过D作l的平行线，过E作AB的平行线，设交点为P，则由平行四边形法则可得AP＝BC－BA，设△PBC的高为h，△ABC的高为k，由三角形相似可得h∶k＝1∶3， △PBC与△ABC有公共的底边BC，∴△PBC与△ABC的面积的比为，故选A.8.(2017届福建福州外国语学校期中)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析求导可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b，则由函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0恒成立，即x2＋|a|x＋a·b≥0恒成立，故判别式Δ＝a2－4a·b≤0恒成立，再由|a|＝2|b|≠0，可得8|b|2≤8|b|2cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉≥，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉∈.9.(2017·湖南长沙长郡中学)已知点M(1，0)，A，B是椭圆＋y2＝1上的动点，且MA·MB＝0，则MA·BA的取值范围是()A.B.[1，9]C.D.答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA＝(x1－1，y1)，MB＝(x2－1，y2)，BA＝(x1－x2，y1－y2)，由题意有MA·MB＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，...
