垂径定理1．（2025•南岗区二模）圆内接，是圆的切线，点为切点，．（1）如图 1，连接，求证：；（2）如图 2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．（3）如图 3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长．2．（2025•镇海区校级二模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作垂直交于点，交于点，交于点，连结，若．（1）求证：．（2）如图 1，若，求的面积．（3）如图 2，若，求的长．3．（2025 秋 香坊区校级月考）•在中，弦、相交于点，且．（1）如图 1，求证：；（2）如图 2，点、分别为弦、的中点，连接、，且，求证：；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接、，交于点，过点作交于点，，，求的长．4．（2025•石家庄三模）如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段．（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点特例探究：（1）如图 1，当点在射线上时， ，点到直线的距离是 ；变式研究：当点在上方时，（2）如图 2，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；（3）当圆与边相切时，求线段的长；（4）若点到的距离为 3，直接写出点到的距离．5．（2025 春 南岗区校级月考）•如图 1，是的直径，点在上，是弧的中点，连接、（1）求证：；（2）如图 2，过点作于，交于点，连接交于点，求证：；（3）如图 3，在（2）的条件下，延长交于点，交于点，连接交于点，连接、，若，的面积是，求弦的长．6．（2010•深圳）如图 1 所示，以点为圆心的圆与轴， 轴分别交于点，，，，直线与相切于点，交 轴于点，交轴于点．（1）请直接写出，的半径 ，的长；（2）如图 2 所示，弦交 轴于点，且，求的值；（3）如图 3 所示，点为线段上一动点（不与，重合），连接交于点，弦交轴于点．是否存在一个常数 ，始终满足，如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由．7．内接于，点在上，连接，交边于点，且．（1）如图 1，求证：；（2）如图 2，点在上，连接，交弦于点，交边于点，连接，交边于点，若，求证：；（3）如图 3，在（2）的条件下，当点在边上时，连接，交边于点，点在线段上，连接并延长，交于点，连接、，若，，，求弦的长．8．（2025•南岗区一模）已知内接于，是直径，过点作的切线．（1）如图 1，求证：；（2）如图 2，当是弧的中点时，过点作于．求证：；（3）如图 3，在（2）的条件下，与相交...
