分类讨论思想1．（2025 秋 丰都县期末）•如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于另一点，点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点．（1）求直线的解析式；（2）如图 2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，．当的面积最大时，求点的坐标以及面积的最大值．（3）如图 3，将点右移一个单位到点，连接，将（1）中抛物线沿射线平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2025 春 小店区期末）•综合与实践问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图 1，中，，．将从图 1 的位置开始绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为点，，旋转角为．操作思考：（1）如图 2，“明辨”小组画出了恰好经过点时的图形．求此时旋转角的度数；（2）如图 3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点作的平行线交于点，连接．猜想线段与的数量关系，并说明理由；拓展探究：（3）如图 4，“博学”小组在图 2 的基础上，将沿射线的方向平移，点，，的对应点分别为，，．若，当以，，为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出平移的距离．3．（2025•济南模拟）如图，抛物线与 轴交于点，点，点是抛物线的顶点，过点作 轴的垂线，垂足为点．（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）如图 1，点是抛物线上一点，且位于 轴上方，横坐标为，连接，若，求的值；（3）如图 2，将抛物线平移后得到顶点为的抛物线．点为抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，过点作 轴的平行线，交抛物线于点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，请直接写出点的坐标．4．（2025 秋 宁海县校级期中）•如图，在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为 秒．（1）出发 2 秒后，求的周长．（2）问 为何值时，为等腰三角形？（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当 为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？5．（2025 秋 锦江区校级月考）•如图 1，在中，，，为的中点，连结．过点作射线，为射线上一动点．（1）求的长和的面积；（2）如图 2，连结交于点，连结，作点关于的对称点，当点恰好落在的边上...
