海盗埋宝模型1．（2025 春 渠县校级期末）•已知两个共一个顶点的等腰直角和等腰直角，，连接，是的中点，连接、（1）如图 1，当与在同一直线上时，求证：；（2）如图 1，若，，求，的长；（3）如图 2，当时，求证：．2．（2025•台安县模拟）（1）如图 1 所示，在等腰三角形中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和．则线段，之间的数量关系是 ．（2）如图 2 所示，在任意三角形中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和，探究与具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由．（3）如图 3 所示，在任意三角形中，分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，是的中点，连接、、，若，请直接写出线段的长．3．（2025 春 沙坪坝区校级月考）•在，中，，连接，为中点，连接，．（1）如图 1，若，，三点在同一直线上，，已知，，求线段的长；（2）如图 2，若，求证：为等腰直角三角形；（3）如图 3，若，请判断的形状，并说明理由．4．（2024•长兴县二模）如图，两个等腰，，，与在同一直线上，连接，是的中点，连接、．（1）求证：；（2）若，．求、的长．5．（2025•沂源县一模）已知如图 1，在中，，，点在上，交于，点是的中点（1）写出线段与线段的关系并证明；（2）如图 2，将绕点逆时针旋转，其它条件不变，线段与线段的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将绕点逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段的范围．6．（2025 秋 荔城区校级期末）•如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是 ，位置关系是 ．（2）问题探究：如图②，将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．试判断与之间的数量关系，并证明；（3）拓展延伸：如图③，将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到△，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为 1，求线段的长7．（2025 春 沙坪坝区校级期末）•如图，已知，边的中点，（1）分别以和为腰，向的外侧作等腰三角形，其中，，且，如图 1 所示．① 若，求的度数；② 求证：；（2）分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，其中，如图 2所示，连接和，则和具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．8．（2025•越秀区校级模拟）在中，，．点在边上（不与，重合），连接，为中点．（1）若过点作于，连接、、，如图 1...
