将军饮马（2）1．（2025•安国市一模） 问题提出初中数学的学习中，我们学习了“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识常可利用它们来解决“最值问题”．简单运用（1）如图 1，在中，，，，在上取一点，则的长的最小值是 ．综合运用（2）如图 1，在中，，，，在、、上分别取点、、，使得的周长最小．画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．拓展延伸（3）图 2 是由线段、线段、组成的图形，其中，，，为，分别在、线段和线段．上取点、、，使得的周长最小，画出图形确定、、的位置，并直接写出的周长的最小值．2．（2025 春 泗水县期末）•将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．如图，一次函数的图象与、轴分别交于点、，那么为此一次函数的坐标三角形（也称为直线的坐标三角形）．（1）如果点在轴上，将沿着直线翻折，使点落在点上，求直线的坐标三角形的面积；（2）如果一次函数的坐标三角形的周长是 21，求值；（3）在（1）（2）条件下，如果点的坐标是，直线上有一点，使得周长最小，求此时的面积．3．（2025 春 江岸区校级月考）•如图 1，直线与轴交于点，与轴交于点，把直线沿直线折叠，使点落在轴负半轴上的点处，折痕与轴交于点．（1）试求点、、的坐标；（2）点是直线上的一个动点，且的面积为 4，求点的坐标；（3）如图 2，点为直线上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，求的最小值．4．（2025 春 沙坪坝区校级期末）•如图 1，在中，是边上的中线，点、在上，连接，，，延长交于点．（1）若，，则 ；（2）若，．求证：；（ 3 ） 如 图 2 ， 在 （ 2 ） 条 件 下 ， 点、、分 别 是三 边 上 的 动 点 ， 且，，当的周长最小时，直接写出的值．5．（2025 春 安新县期末）•李明酷爱数学，勤于思考，善于反思．在学习八年级下册数学知识之后，他发现“二次根式、勾股定理、一次函数、平行四边形”都和“将军饮马”问题有关联，并且为解决“饮马位置”“最短路径长”等问题，提供了具体的数学方法．于是他撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助李明完成相关问题．“将军饮马”问题的探究与拓展—八年级三班李明“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐 李颀《古从军行》 ，这句诗让我想到了有趣的“将军饮马”问题：将军从地出发到河边 饮马，然后再到地军营视察，怎样走路径最短？【...
