角平分线模型1．（2025 春 青浦区期末）•如图，在梯形中，，平分，．（1）求证：；（2）作，垂足为点，．① 设，请用含的代数式表示梯形的面积；② 点为中点，联结并延长，交边于点，请你想一想， 能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由．2．（2025•宁江区二模）在四边形中，平分，，．（1）若时，直接写出与的数量关系为 ；（2）如图 1，当时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图 2，为中点，为上一点，，求的值．3．（2025 春 二道区校级期中）•【问题】如图①，在中，，平分，平分．求的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．解：（三角形内角和． （等式性质）． （已知）， （等量代换）．平分（已知），（角平分线的定义）．同理， ； （等式性质）．， （等式性质）．【拓展】如图②，在中，，平分，平分．则 ．【应用】如图③，在中，平分，平分，平分，平分．若，则 ．4．（2025 春 渝中区校级期中）•在中，为边上一点，连接，为上一点，连接，（1）如图 1，延长交于点，若平分，平分，，，，求的周长；（2）如图 2，连接，若，，为中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图 3，在第（2）问的条件下，当时，点是直线上一动点，连接，将沿着翻折得，连接，为的中点，连接，当点到的距离最小时，直接写出的值．5．（2025 秋 南关区校级月考）•【感知】如图①所示，在等腰中，，平分，易得（不需要证明）．【探究】如图②所示，李丽同学将图①的等腰改为任意，平分，他通过观察、测量，猜想仍然成立，为了证明自己的猜想，他与同学进行交流讨论，得到了证明猜想的两种方法：方法 1：过点分别作：于点，于点，利用与的面积比证明结论．方法 2：过点作交延长线于点，利用与相似证明结论．请你参考上面的两种方法，选择其中的一种方法完成证明．【应用】如图③所示，在中，，，，平分．若点在边上，，交于点，则 ．6．（2025 春 丹阳市期末）•【阅读材料】像，，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与，，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．【解决问题】（1）的有理化因式为 ；（2）化简：；（3）①如图 1，中，，，，点到边的距离为 ；② 如图 2，中，与的角平分...
