菱形综合题1．（2025•宽城区校级开学）如图，在△ABC 中，BA＝BC＝10，BC 边上高为 8，点 D 为边 BC 的中点，点 P 从点 B 出发，沿折线 BA﹣AC 向点 C 运动，在 BA、AC 上的速度分别为每秒 5 个单位长度和每秒个单位长度．当点 P 不与点 A 重合时，连接 PD，以 PA、PD 为邻边作▱APDE．设点 P的运动时间为 t 秒（t＞0）．（1）①线段 AC 的长为 ；② 用含 t 的代数式表示线段 AP 的长；（2）当点 E 在△ABC 内部时，求 t 的取值范围；（3）当▱APDE 是菱形时，求 t 的值；（4）作点 B 关于直线 PD 的对称点 B′，连接 B′D，当 B′D⊥BC 时，直接写出 t 的值．2．（2025 春 丰台区期末）•在平面直角坐标系中，对于点和菱形，给出如下定义：若菱形上存在一点，使点绕点逆时针旋转的对应点在菱形的较短的一条对角线上，则称点为菱形的环绕点．图 1 为菱形的环绕点的示意图．如图，设菱形的中心为，，点和点都在 轴上，且．（1）在点，，中，菱形的环绕点是 ；（2）若为菱形的环绕点，求 的取值范围；（3）设正方形以点为中心，各边均与坐标轴平行，边长为．若正方形上任意一点都是菱形的环绕点，请你直接写出 的取值范围．3．（2025 春 丰都县期末）•已知在菱形中，，连接对角线．（1）如图 1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点．① 求证：；② 过点作，垂足为，求证：；（2）如图 2，已知，将沿射线平移，得到△，连接，，请直接写出的最小值．4．（2025 春 青羊区校级期中）•在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，点 P 是射线 BD 上一动点，以 AP为边向右侧作等边△APE，点 E 的位置随点 P 的位置变化而变化．（1）如图 1，当点 E 在菱形 ABCD 内部时，连接 CE，则 BP 与 CE 的数量关系是 ，CE与 AD 的位置关系是 ；（2）如图 2，当点 E 在菱形 ABCD 外部时，连接 CE．求证：CE+PD＝BD；（3）如图 3，当点 P 在线段 BD 的延长线上时，连接 BE．若，，求 PD．5．（2025 春 连城县期中）•如图①，点是等边中线上一点，连接，为等边三角形，连接．（1）求证：；（2）如图②，当在线段的延长线上，求证：；（3）如图③，，点是射线的动点，是否其中存在以、、为顶点的菱形，若存在，请直接写出线段的长度（不写过程），若不存在，说明理由．6．（2025 春 思明区校级期中）•如图 1，平面直角坐标系中，点，，点在轴...
