数学建模思想1．（2025 春 大连期末）•如图 1，在平面直角坐标系中，直线与 轴，轴分别交于点，点，直线与 轴负半轴交于点，且．直线与直线交于点，点在 轴上．（1）求直线的解析式；（2）若，求点的坐标；（3）如图 2，连接，若，求点的坐标．2．（2025 秋 上城区期末）•已知，两直角边与之和为 4，作的外接圆，点为圆心．（1）如图 1，连结，当时，求的值．（2）如图 2，过点作于点，点为中点，连结，求证：．（3）如图 3，作的平分线交于点，线段是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．3．（2025•临海市一模）【发现问题】小聪发现图 1 所示矩形甲与图 2 所示矩形乙的周长与面积满足关系：．【提出问题】对于任意一个矩形，是否一定存在矩形，使得成立？【解决问题】（1）对于图 2 所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为 和，使得成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；（2）矩形两条邻边长分别为和 1，若一定存在矩形，使得成立，求的取值范围；（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形两条邻边长 ， 满足什么条件时一定存在矩形．4．（2024 秋 汉阳区校级月考）•某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 元为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与 的函数关系式并直接写出自变量 的取值范围．（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？（3）根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？5．（2024•白下区一模）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关系的方法：① 恰当选取变量 和．小明设 2 点钟之后经过，时针、分针分别与竖轴线（即经过表示“12”和“6”的点的直线，如图所成的角的度数为、；② 确定函数关系．由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出、关于的函数关系式，也可以画出它们的图象．小明选择了后者，画出了图 2；③ 根据题目的要求，利用函数求解．本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题．请你按照小明的思路解决这...
