专题 05 二次函数与相似三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。【解题思路】关函数与相似三角形的问题一般 三个解决途径： (1)求相似三角形的第三个顶点时， 先要分析已知三角形的边和角的特 点，进而得出已知三角形是否为特 殊三角形．根据未知三角形中已知 边与已知三角形的可能对应边分类 讨论； (2)利用已知三角形中对应角，在未 知三角形中利用勾股定理、三角函 数来推导边的大小； (3)若两个三角形的各边均未给出， 则应先设所求点的坐标进而用函数 解析式来表示各边的长度，之后利 用相似来列方程求解．【典例分析】【典例 1】（2023•娄底）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），点B（3，0），与 y 轴交于点 C，且过点 D（2，﹣3）．点 P、Q 是抛物线 y＝ax2+bx+c 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标．【变式 1-1】（2025•贵港）如图，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过 A（0，3）和 B（，﹣）两点，直线 AB 与 x 轴相交于点 C，P 是直线 AB 上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交 AB 于点 D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若以 A，P，D 为顶点的三角形与△AOC 相似，请直接写出所有满足条件的点 P，点 D 的坐标．【变式 1-2】（2025•绵阳）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于 A（﹣1，0），B 两点，交y 轴于点 C（0，3），顶点 D 的横坐标为 1．（1）求抛物线的解析式；（2）在 y 轴的负半轴上是否存在点 P 使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点 C 作直线 l 与 y 轴垂直，与抛物线的另一个交点为 E，连接 AD，AE，DE，在直线 l 下方的抛物线上是否存在一点 M，过点 M 作 MF⊥l，垂足为 F，使以 M，F，E 三点为顶点的三角形与△ADE 相似？若存在，请求出 M 点的坐标，若不存在，请说明理由．【典例 2】（2025•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B（2，0）（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，对称轴是直线 x＝，P 是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点 P 作 x 轴的垂线与线段...
