专题 06 二次函数与等腰三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数之等腰三角形存在性问题，主要指的是在平面直角坐标系下，已知一条边（或两个顶点）的等腰三角形存在，求第三个顶点的坐标的题型.主要考察学生对转化思想、方程思想、几何问题代数化的数形结合思想及分类讨论思想的灵活运用。【解题思路】等腰三角形的存在性问题【方法 1 几何法】“两圆一线” （1）以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 AB=AC；（2）以点 B 为圆心，AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 BA=BC；（3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB．注意：若有重合的情况，则需排除．以点 C1 为例，具体求点坐标： 过点 A 作 AH⊥x 轴交 x 轴于点 H，则 AH=1，又类似可求点 C2 、C3、C4 ．关于点 C5 考虑另一种方法． 【方法 2 代数法】点-线-方程表示点：设点 C5坐标为(m,0)，又 A（1,1）、B（4,3），表示线段： 联立方程：，，总结：【典例分析】【考点 1 等腰角形的存在性】【典例 1】（2024•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交 y 轴于点 C（0，6），在 y 轴上有一点 E（0，﹣2），连接 AE．（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点 P，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P 点的坐标，若不存在，请说明理由．【变式 11】（2025•澄海区模拟）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，点 A 的坐标为（﹣1，0），点 C 坐标为（0，3），对称轴为 x＝1．点 M 为线段OB 上的一个动点（不与两端点重合），过点 M 作 PM⊥x 轴，交抛物线于点 P，交 BC于点 Q．（1）求抛物线及直线 BC 的表达式；（2）试探究点 M 在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式 1-2】（2025•荣昌区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+x+c（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线 y＝ax2+x+c 沿射线 BC 平移，B，C 的对应点分别为 M，N，当以点A，M，N 为顶点的三角形是以 MN 为腰的等腰三...
