第五章 四边形第 24 课 矩形1 ．矩形的定义：有 ____________ 的平行四边形是矩形．一、考点知识， 2 ．矩形具有平行四边形的一切性质．此外，具有如下特殊性质：四个角都是 ________ ，对角线 ________ ．一个角是直角3 ．矩形的判定：(1) 有 __________________ 的四边形是矩形．(2) 对角线 ________ 的平行四边形是矩形．(3) 对角线 ________ 且 __________ 的四边形是矩形．直角相等三个角都是直角相等相等互相平分【例 1 】在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC ， BD 相交于 O ， ∠ACD ＝ 30° ， AB ＝ 4.(1) 判断△ AOD 的形状；(2) 求对角线 AC ， BD 的长．【考点 1 】矩形的性质二、例题与变式解： (1) AOD△是等边三角形 （ 2 ） AC=BD= 【变式 1 】已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ，且 AC ＝ 2BC. 求证：△ BOC 是等边三角形．证明：在矩形 ABCD 中， OA=OC ， OB=OD ， AC=BD ， ∴AC=2OC ， BD =2OB. 又 AC=2BC ，∴ OC=OB=BC ， 即△ BOC 是等边三角形 .8 33【考点 2 】矩形的判定【例 2 】如图， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC与 BD 的交点， E ， F ， G ， H 分别是 AO ，BO ， CO ， DO 上的一点，且 AE ＝ BF ＝ CG＝ DH.求证： 四边形 EFGH 是矩形．证明： 四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD. AO=BO=CO=DO. AE=BF=CG=DH ， ∴ OE=OF=OG=OH. ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 . OE+OG=FO+OH 即 EG=FH ， ∴ 四边形 EFGH 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．【变式 2 】如图，▱ ABCD 中， BC ＝ 6 ， AB ＝ 8 ， AC ＝ 10 ，求证：▱ ABCD 是矩形．证明：因为 62+82=102, 即 AB2+BC2=AC2, 所以∠ B 就是直角 . 在平行四边形 ABCD 中 , 有一个角是直角 , 所以 , 四边形 ABCD 是矩形 .【考点 3 】矩形与轴对称【例 3 】 把一张矩形纸片 ( 矩形 ABCD) 按如图方式 折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF. 若 AB ＝ 3 ， BC ＝ 5 ，求重叠部分△ DEF 的面积．解： 按题图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF ， AB=3 ， BC=5 ，∴ A D=AB=3.′ 假设 AE=x ，则 A E=x′， DE=5 － x. ∴A E′2+A D′2=ED2. ∴x2+9=(5 － x)2. 解得 x=1.6. ∴DE=5 ...
