方法必备 05 压轴大题几何中的最值问题（5 种题型 40 题专练）题型一：圆中的最值问题（9 题）题型二：胡不归模型（11 题）题型三：阿氏圆模型（5 题）题型四：瓜豆原理（4 题）题型五：将军饮马模型（11 题）题型一：圆中的最值问题（9 题）1．（2025•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦．（1）如图 1，当时，求证：；（2）如图 2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积；（3）如图 3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 ．2．（2025•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．（1）若，① 在点，，这三个点中，点 是线段的直点；② 点为线段的直点，点，求的取值范围；（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．3．（2025•舟山二模）如图，已知，，是的平分线．动点从点出发，以的速度沿水平向左做匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上做匀速运动．连接，交于点．经过，，三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中．（1）用含 的代数式表示线段的长，并求的最小值．（2）求四边形的面积．（3）是否存在实数 ，使得线段的长度最大？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．4．（2025•常州模拟）如图，半圆的直径，以长为 2 的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在上且不与点重合，但点可与点重合．（1）计算：劣弧的长；（2）思考：点与的最大距离为 ，此时点，间的距离为 ；点与的最小距离为 ．（3）探究：当半圆与相切时，求的长．（注：结果保留，，5．（2025•灞桥区校级三模）问题提出：（1）如图①，已知点到直线的距离是 5，以为圆心、2 为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为 ．问题探究：（2）如图②，已知正方形的边长为 2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结，则求的最小值．问题解决：（3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需 200 元，种植这种红色花卉每平方米需 180 元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：6．（2025•南海区一...
