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近世代数知识点第一章 基本概念1.1 集合A 得全体子集所组成得集合称为 A 得幂集,记作 2A、1.2 映射证明映射: 单射:元不同,像不同;或者 像相同,元相同。满射:像集合中每个元素都有原像。Remark: 映射满足结合律！1.3 卡氏积与代数运算{(a,b)∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积,其中(a,b)为有序元素对,所以一般 A*B 不等于 B*A、集合到自身得代数运算称为此集合上得代数运算。1.4 等价关系与集合得分类★ 等价关系:1 自反性:∀a∈A,a a; 2 对称性:∀a,b∈R, a b=>b a∈R; 3 传递性:∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R、Remark:对称+传递≠自反★ 一个等价关系决定一个分类,反之,一个分类决定一个等价关系★ 不同得等价类互不相交,一般等价类用[a]表示。第二章 群2、1 半群1. 半群=代数运算+结合律,记作(S,)Remark: i、证明代数运算:任意选取集合中得两个元素,让两元素间做此运算,观察运算后得结果就是否还在定义得集合中。 ii、若半群中得元素可交换,即 ab=ba,则称为交换半群。2. 单位元i.半群中左右单位元不一定都存在,即使存在也可能不唯一,甚至可能都不存在;若都存在,则左单位元=右单位元=单位元。ii.单位元具有唯一性,且在交换半群中:左单位元=右单位元=单位元。iii.在有单位元得半群中,规定 a0=e、3. 逆元i.在有单位元 e 得半群中,存在 b,使得 ab=ba=e,则 a 为可逆元。ii.逆元具有唯一性,记作 a-1且在交换半群中,左逆元=右逆元=可逆元。iii.若一个元素 a 既有左逆元 a1,又有右逆元 a2,则 a1=a2,且为 a 得逆元。4. 子半群i.设 S 就是半群, ≠TS,若 T 对 S 得运算做成半群,则 T 为 S 得一个子半群ii.T 就是 S 得子半群a,bT,有 abT2、2 群 1.群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元 Remark:i、 若代数运算满足交换律,则称为交换群或 Abel 群、 ii、 加群=代数运算为加法+交换群 iii、单位根群 Um={ m=1},数域 P 上全体 n 阶可逆(满秩)矩阵集合 GL(n,P),数域 P 上全体 n 阶得行列式为 1 得矩阵集合 SL(n,p)、 2、 群=代数运算+结合律+左(右)单位元+左(右)逆元 =代数运算+结合律+单位元+逆元 =代数运算+结合律+∀a,bG,ax=b,ya=b 有解3、 群得性质i、 群满足左右消去律 ii、设 G 就是群,则∀a,bG,ax=b,ya=b 在 G 中有唯一解 iii、 e 就是 G 单位元⇔ e2=e iv、若 G 就是有限半群,满足左右消去律,则 G 就是一个群...