2026年中考数学-模型·方法·技巧突破 专题2-2费马点与加权费马点详细总结（学生版+名师详解版）

专题 2-2 费马点与加权费马点详细总结知识点梳理【常规费马点】【加权费马点】题型一 普通费马点最值问题题型二 加权费马点·单系数型题型三 加权费马点·多系数型知识点梳理【常规费马点】【问题提出】如图△ABC 所有的内角都小于 120 度，在△ABC 内部有一点 P，连接 PA、PB、PC，当的值最小时，求此时∠APB 与∠APC 的度数.PCBA【问题处理】如图 1，将△ACP 绕着点 C 顺时针旋转 60 度得到△A’CP’，则△ACP≌△A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，又 ∠PCP’ ＝60°，∴△PCP’是等边三角形，∴PP’＝PC， ∴PA＋PB＋PC＝ P’A’＋PB＋PP’，如图 2，当且仅当点 B、P、P’、A’共线时，PA＋PB＋PC 最小，最小值为 A’B，此时∠BPC＝∠APC＝∠APB＝120°图1P'PCBA'AAA'BCPP'图2【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费马点结论：①对于一个各角不超过 120°的三角形，费马点是对各边的张角都是 120°的点，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心；② 对于有一个角超过 120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．【如何作费马点】如图 3，连接 AA’，我们发现△ACA’为等边三角形，点 P 在 A’B 上，同理，我们可以得到等边△BAB’，点 P 也在 CB’上，因此，我们可以以△ABC 三角形任意两边为边向外构造等边三角形，相应连线的交点即为费马点。（最大角小于 120°时）B'图3PCBA'A【例 1】如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P 是△ABC 内一点，求 PA+PB+PC 的最小值．ABCP【练习 1】 如图，已知矩形 ABCD，AB=4，BC=6，点 M 为矩形内一点，点 E 为 BC 边上任意一点，则MA+MD+ME 的最小值为______．ABCDME【加权费马点】如果所求最值中三条线段的系数有不为 1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。【类型一 单系数类】当只有一条线段带有不为 1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特殊角度：对应旋转 90°，对应旋转 120°另一种是旋转放缩，对应三角形三边之比【例 3】在等边三角形 ABC 中，边长为 4，P 为三角形 ABC 内部一点，求的最小值原图ABCP 原图ABCP【练习 2】在 Rt△ABC 中，AC＝3，BC＝23 ，P 为三角形 ABC 内部一点，求的最小值ABCPABCP【类型二 多系数类】其实当三条线段的三个系数满足...