模板 2 立体几何问题(满分 15 分)如图， 已知四棱锥 PABCD，△PAD 是以 AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E 为 PD 的中点.(1)证明：CE∥平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值.满分解答得分说明解题模板(1)证明 如图，设 PA 中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 中点，所以 EF∥AD 且 EF＝AD， (1 分)又因为 BC∥AD，BC＝AD，(2 分)所以 EF∥BC 且 EF＝BC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CE∥BF. (5 分)又因为 CE平面 PAB，BF平面 PAB，因此 CE∥平面 PAB. (6 分)① 能指出EF∥AD，BC∥AD 各得 1 分；② 能得到 CE∥BF，得 3 分；③ 条件 CE平面PAB 与 BF平面 PAB错 1 个扣 1 分；第一步 由线线平行得平行四边形；第二步 由线线平行得线面平行；第三步 由线线垂直得线面垂直；第四步 得出线面角；第五步 在三角形中计算各个边，求值.(2)解 分别取 BC，AD 的中点为 M，N，连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ.因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为EF 中点，在平行四边形 BCEF 中，MQ∥CE. (7 分)由△PAD 为等腰直角三角形得 PN⊥AD.由 DC⊥AD，BC∥AD，BC＝AD，N 是 AD 的中点得BN⊥AD.因为 PN∩BN＝N，所以 AD⊥平面 PBN.(9 分)由 BC∥AD 得 BC⊥平面 PBN，因为 BC平面 PBC，所以平面 PBC⊥平面 PBN. (11 分)过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，则 QH⊥平面 PBC.连接 MH，则 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以∠QMH是直线 CE 与平面 PBC 所成的角．设 CD＝1. (12 分)在△PCD 中，由 PC＝2，CD＝1，PD＝得 CE＝，在△PBN 中，由 PN＝BN＝1，PB＝得 QH＝，在 Rt△MQH 中，QH＝，MQ＝，所以 sin∠QMH＝，所以，直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是. (15 分)④ 指出 MQ∥CE 得 1分；⑤ 指出PN⊥AD，BN⊥AD，PN∩BN＝N，得 2分，缺 1 个条件扣1 分；⑥ 得出 BC⊥平面PBN 得 2 分；⑦ 指出∠QMH 是所求角，得到 1 分；⑧ 计算正确得 3分．错误一个量扣1 分.【训练 2】 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 所有的棱长均为 2，A1B＝，A1B⊥AC.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求直线 AC 和平面 ABB1A1所成角的余弦值．(1)证明 法一 取 AC 的中点 O，连接 A1O，BO，∴BO⊥AC. A1B⊥AC，A1B∩BO＝B，A1B...
