模板 4 解析几何问题(满分 15 分)已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M.(1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值；(2)若 l 过点，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l的斜率；若不能，说明理由.满分解答得分说明解题模板(1)证明 设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将 y＝kx＋b 代入 9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，(2 分)故 xM＝＝，yM＝kxM＋b＝. (4 分)于是直线 OM 的斜率 kOM＝＝－，即 kOM·k＝－9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值． (6 分)① 将直线方程与椭圆方程联立，化为一元二次方程形式得 2 分；② 利用根与系数的关系求出中点坐标得 2 分；③ 求出斜率乘积为定值，得出结论得 2 分；第一步 先假定：假设结论成立.第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.第四步 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.(2)解 四边形 OAPB 能为平行四边形． (8 分)因为直线 l 过点，所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k＞0，k≠3.由(1)得 OM 的方程为 y＝－x.设点 P 的横坐标为 xP，由得 x＝，即 xP＝. (11 分)将点的坐标代入 l 的方程得 b＝，因此 xM＝. (12 分)四边形 OAPB 为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP＝2xM.于是＝2×，解得 k1＝4－，k2＝4＋.因为 ki＞0，ki≠3，i＝1，2，所以当 l 的斜率为 4－或 4＋时，四边形 OAPB 为平行四边形． (15 分)④ 先说明结果，四边形OAPB 能为平行四边形得2 分；⑤ 求出 xP＝得 3 分；⑥ 求出 xM＝得 1 分；⑦ 结合平面几何知识求出斜率得 3 分.【训练 4】 如图，过椭圆 M：＋y2＝1 的右焦点 F 作直线交椭圆于 A，C 两点．(1)当 A，C 变化时，在 x 轴上求定点 Q，使得∠AQF＝∠CQF；(2)设直线 QA 与椭圆 M 的另一个交点为 B，连接 BF 并延长交椭圆于点 D，当四边形 ABCD 的面积取得最大值时，求直线 AC 的方程．解 (1)设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，Q(q，0)，当 A，C 不在 x 轴上时，设直线 AC 的方程为 x＝...
