模板 5 函数与导数问题(满分 15 分)设函数 f(x)＝emx＋x2－mx.(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意 x1，x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求 m 的取值范围.满分解答得分说明解题模板(1)证明 f′(x)＝m(emx－1)＋2x.(1 分)若 m≥0，则当 x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；当 x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0. (3 分)若 m＜0，则当 x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；当 x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x)＞0.(5 分)所以，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.(6 分)① 求导正确得 1 分；② 分两种情况讨论正确各得 2分；③ 得出结论得 1 分；第一步 求导数：一般先确定函数的定义域，再求 f′(x).第二步 定区间：根据 f′(x)的符号确定函数的单调区间.第三步 寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题.第四步 写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立.第五步 再反思：查看是否注意定义域，区间的写法、最值点的探求是否合理等.(2)解 由(1)知，对于任意的 m，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故 f(x)在 x＝0 处取得最小值．所以对于任意 x1，x2∈[－1，1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1 的充要条件是即① (9 分)设函数 g(t)＝et－t－e＋1，则 g′(t)＝et－1.当 t＜0 时，g′(t)＜0；当 t＞0 时，g′(t)＞0.故 g(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.又 g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故当 t∈[－1，1]时，g(t)≤0.(12 分)当 m∈[－1，1]时，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；当 m＞1 时，由 g(t)的单调性知，g(m)＞0，即 em－m＞e－1；当 m＜－1 时，g(－m)＞0，即 e－m＋m＞e－1.综上，m 的取值范围是[－1，1]．(15 分)④ 找出充要条件得 3 分；⑤ 构造函数，求出“t∈[－1，1]时，g(t)≤0”得 3分；⑥ 通过分类讨论，得出结果得 3分.【训练 5】 设函数 f(x)＝ln x＋，m∈R.(1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－零点的个数．解 (1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋，则 f′(x)＝，∴当 x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，当 x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴x＝e 时，f(x)取得极小值 f(e)＝ln e...
