（课标通用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 导数的综合应用学案 理-人教版高三全册数学学案

§3.3 导数的综合应用考点 1 利用导数研究生活中的优化问题[典题 1] 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率)．(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh＝200πrh 元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意，得 200πrh＋160πr2＝12 000π，所以 h＝(300－4r2)，从而 V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．因为 r>0，又由 h>0 可得 0＜r<5，故函数 V(r)的定义域为(0,5)．(2)因为 V(r)＝(300r－4r3)，故 V′(r)＝(300－12r2)，令 V′(r)＝0，解得 r＝5 或－5(r＝－5＜0，舍去)．当 r∈(0,5)时，V′(r)>0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r∈(5,5)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5)上为减函数．由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8.即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．[点石成金] 利用导数解决生活中的优化问题的四步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)；(2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝＋10(x－6)2，其中 3＜x＜6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为当 x＝5 时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量 y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)极大值 42由上表可得，x＝4 是函...