§4.4 简单的三角恒等变换考纲展示► 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆考点 1 三角函数式的化简与证明倍角公式与半角公式变形(1)答案：2sin2α 2cos2α 1－2sin 2 2cos2－1 ± ± ±(2)1±sin α＝2；1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2；tan ＝＝.(3)辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中 sin φ＝________，cos φ＝________ .答案： 倍角公式中的特殊情形．判断正误：(1)存在实数 α，使 cos 2α＝2cos α.( )(2)存在实数 α，使 sin 2α＝2sin α.( )(3)存在实数 α，使 tan 2α＝2tan α.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√[典题 1] (1)[2017·湖北随州模拟]已知 α∈，且 2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝________.[答案] [解析] 由 2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0， α∈，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又 sin 2α＋cos2α＝1，∴cos α＝，sin α＝，∴＝＝.(2)化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.[答案] [解析] 解法一：原式＝·＋·－cos 2αcos 2β＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝.解法二：原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－cos 2α·cos 2β＝cos2(α＋β)＋sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＝cos2(α＋β)－·cos (2α＋2β)＝cos2(α＋β)－·[2cos2(α＋β)－1]＝.[点石成金] 三角函数式化简的原则与方法(1)三角函数式的化简遵循的三个原则① 一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．② 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③ 三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等．(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．(3)化简三角函数式的常用技巧①...
