突破点 3 平面向量(对应学生用书第 14 页) [核心知识提炼] 提炼 1 平面向量共线、垂直的两个充要条件 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0. 提炼 2 数量积常见的三种应用 已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)证明向量垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)求向量的长度：|a|＝＝.(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝＝.提炼 3 平面向量解题中应熟知的常用结论 (1)A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数 λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且 λ ＋ μ ＝ 1.(2)C 是线段 AB 中点的充要条件是OC ＝ ( OA ＋ OB ) ．(3)G 是△ABC 的重心的充要条件为GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0 ，若△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心坐标为，.(4)PA·PB＝PB·PC＝PA·PC⇔P 为△ ABC 的垂心． (5)非零向量 a，b 垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a ＋ b| ＝ |a － b| ⇔x1x2＋y1y2＝0.(6)向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos θ＝，向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos θ＝.[高考真题回访]回访 1 平面向量的线性运算1．(2017·浙江高考)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．4 2 [设 a，b 的夹角为 θ. |a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝＋＝＋.令 y＝＋，则 y2＝10＋2. θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，∴y∈[4,2]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,2]．]2．(2014·浙江高考)记 max{x，y}＝min{x，y}＝设 a，b 为平面向量，则( )A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2D [由于|a＋b|，|a－b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故 A，B 错．当 a，b 夹角为锐角时，|a＋b|>|a－b|，此时，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；当 a，b 夹角为钝角时，|a＋b|<|a－b|，此时，|a－b|2>|a|2＋|b|2；当 a⊥b 时，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故选 D.]3．(2014·浙江高考)设 θ 为两个非零向量 a，b 的夹角，已知对任意实数 t，|b＋ta|的最小值为 1.( ) 【导学号：68334048】A．若 θ 确定，则|a|唯一确定B．若 θ 确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则 θ ...
