第 2 节 等差数列及其前 n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系．知 识 梳 理1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)，或 an－an－1＝d(n≥2，d 为常数)．(2)若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a，b 的等差中项，且 A＝．2．等差数列的通项公式与前 n 项和公式(1)若等差数列{an}的首项是 a1，公差是 d，则其通项公式为 an＝a1＋ ( n － 1) d ．通项公式的推广：an＝am＋( n － m ) d (m，n∈N*)．(2)等差数列的前 n 项和公式Sn＝＝na1＋ d (其中 n∈N*，a1为首项，d 为公差，an为第 n 项)．3．等差数列的有关性质已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前 n 项和．(1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有 am＋an＝ap＋aq.(2)等差数列{an}的单调性：当 d＞0 时，{an}是递增数列；当 d＜0 时，{an}是递减数列；当 d＝0 时，{an}是常数列．(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md 的等差数列．(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．4．等差数列的前 n 项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)．5．等差数列的前 n 项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则 Sn存在最大值；若 a1＜0，d＞0，则 Sn存在最小值．[常用结论与微点提醒]1．用定义法证明等差数列应注意“从第 2 项起”，如证明了 an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证 a2－a1是否等于 d，若 a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．2．利用二次函数性质求等差数列前 n 项和最值时，一定要注意自变量 n 是正整数．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( )(2)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( )(3)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( ...
