第五节 基本不等式1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a ＞ 0 ， b ＞ 0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b .2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b 同号)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知 x＞0，y＞0，则(1)如果 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小)．(2)如果 x＋y 是定值 q，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是(简记：和定积最大)．[小题体验]1．(教材习题改编)设 x，y∈R＋，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为________．答案：812．若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2的最小值为________．解析：x2＋2y2＝x2＋(y)2≥2x(y)＝2，所以 x2＋2y2的最小值为 2.答案：21．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当 a＝b 时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．[小题纠偏]1．下列不等式一定成立的是( )A．lg＞lg x(x＞0)B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.＞1(x∈R)解析：选 C 对于 A 选项，当 x＝时，lg＝lg x，故 A 不一定正确；B 选项，需要满足当 sin x＞0 时，不等式才成立，故 B 也不正确；C 选项等价于(|x|－1)2≥0，显然正确；D选项不正确， x2＋1≥1，∴0＜≤1.2．若 f(x)＝x＋(x＞2)在 x＝n 处取得最小值，则 n 等于( )A. B．3C. D．4答案：B3．函数 f(x)＝x＋的值域为____________________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)[典例引领]1．设直角坐标系 xOy 平面内的三点 A(1，－2)，B(a，－1)，C(－b，0)，其中 a＞0，b＞0，若 A，B，C 三点共线，则＋的最小值为( )A．4 B．6C．8 D．9解析：选 C 由题意得，AB＝(a－1,1)，AC＝(－b－1,2)．因为 A，B，C 三点共线，所以 2(a－1)－(－b－1)＝0，即 2a＋b＝1.又 a＞0，b＞0，所以＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，当且仅当 b＝2a＝时等号成立，故选 C.2．设 a＞b＞0，则 a2＋＋的最小值是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选 D a2＋＋＝(a2－ab)＋＋...
