§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2．3.1 平面向量基本定理自主学习 知识梳理1．平面向量基本定理(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量 a，____________实数 λ1，λ2，使 a＝________________.(2)基底：把__________的向量 e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．2. 两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个______________a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则__________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角．① 范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是__________．② 当 θ＝0°时，a 与 b________.③ 当 θ＝180°时，a 与 b________.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是________，则称 a 与 b 垂直，记作________． 自主探究设 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量．通过作图法可以证明：一定存在一组实数(λ1，λ2)使 a＝λ1e1＋λ2e2成立，并且(λ1，λ2)是唯一的，请你根据图 1 和图 2 叙述这一过程．对点讲练知识点一 对基底概念的理解例 1 如果 e1，e2是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量；② 对于平面 α 内任一向量 a，使 a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③ 若向量 λ1e1＋μ1e2与 λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④ 若存在实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.A．①② B．②③ C．③④ D．②回顾归纳 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．变式训练 1 设 e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与 e2－2e1；③e1－2e2与 4e2－2e1；④e1＋e2与 e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)知识点二 用基底表示向量例 2 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若AB＝a ，AD＝b 试用 a，b 表示DC、BC、MN.1回顾归纳 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定...
