2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习 知识梳理1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量____________叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．(3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是______________，向量 b 在 a 方向上的投影是__________．2．数量积的几何意义a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影__________的乘积．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝__________(结合律)；(3)(a＋b)·c＝__________(分配律)． 自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．设 a 与 b 都是非零向量，θ 为 a 与 b 的夹角．(1)a⊥b⇔__________；(2)当 a 与 b 同向时，a·b＝________，当 a 与 b 反向时，a·b＝________；(3)a·a＝__________或|a|＝＝；(4)cos θ＝__________；(5)|a·b|≤__________.对点讲练知识点一 求两向量的数量积例 1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数量积．回顾归纳 求平面向量数量积的步骤是：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．变式训练 1 已知正三角形 ABC 的边长为 1，求：(1)AB·AC；(2)AB·BC；(3)BC·AC.知识点二 求向量的模长例 2 已知|a|＝|b|＝5，向量 a 与 b 的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．变式训练 2 已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.1知识点三 向量的夹角或垂直问题例 3 设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是 60°，求向量 a＝2m＋n 与 b＝2n－3m 的夹角．回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．变式训练 3 已知|a|＝5，|b|＝4，且 a 与 b 的夹角为 60°，则当 k 为何值时，向量 ka－b 与 a＋2b 垂直？1 ． 两 向 量 a 与 b 的 数...
