第十一节函数与方程一、基础知识批注——理解深一点1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数 y＝f(x)，我们把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如 果 函 数 y ＝ f ( x ) 在 区 间 [ a ， b ] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有 f ( a ) f ( b )<0 ，那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、基础小题强化——功底牢一点(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( )(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac＜0 时没有零点．( )(5)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)·f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√(二)选一选1．已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)解析：选 B 由所给的函数值的表格可以看出，x＝2 与 x＝3 这两个数字对应的函数值的符号不同，即 f(2)·f(3)<0，所以函数 f(x)在(2,3)内有零点．2．函数...
