第七章 不 等 式第一节 不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括 2 个知识点： 1.不等式的性质； 2.一元二次不等式.突破点(一) 不等式的性质 1．比较两个实数大小的方法(1)作差法(2)作商法2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b < a ⇔传递性a>b，b>c⇒a > c ⇒可加性a>b⇔a ＋ c > b ＋ c ⇔可乘性⇒ac > bc 注意 c 的符号⇒ac < bc 同向可加性⇒a ＋ c > b ＋ d ⇒同向同正可乘性⇒ac > bd >0 ⇒可乘方性a>b>0⇒a n > b n (n∈N，n≥1)a，b 同为正数可开方性a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒<.②a<0
b>0,0.④0b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．1．判断题(1)a>b>0，c>d>0⇒>.( )(2)若>，则 a>b.( )(3)若 a>b，c>d，则 ac>bd.( )答案：(1)√ (2)× (3)×2．填空题(1)若 ab>0，且 a>b，则与的大小关系是________．答案：<(2)a，b∈R，a＜b 和＜同时成立的条件是________．解析：若 ab＜0，由 a＜b 两边同除以 ab 得，＞，即＜；若 ab＞0，则＞.∴a＜b 和＜同时成立的条件是 a＜0＜b.答案：a＜0＜b(3)已知 a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________________．解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝. a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0.∴＋≥＋.答案：＋≥＋(4)设 M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则 M 与 N 的大小关系为 M________N.答案：>比较大小[例 1] (1)已知 x∈R，m＝(x＋1)，n＝(x2＋x＋1)，则 m，n 的大小关系为( )A．m≥nB．m＞nC．m≤nD．m＜n(2)若 a＝，b＝，则 a____b(填“＞”或“＜”)．(3)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，则与的大小关系为________．[解析] (1)m＝x3＋＋＋1，n＝x3＋＋＋，m－n＝>0，故 m>n.(2)易知 a，b 都是正数，＝＝log89＞1，所以 b＞a.(3)当 q＝1 时，＝3，＝5，所以＜.当 q＞0 且 q≠1 时，－＝－＝＝＜0，所以＜.综上可知＜.[答案] (1)B (2)＜ (3)＜[方法技巧] 比较大小的常用方法差值比较商值比较原理设 a，b∈R，则a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a0，b>0，则>1⇔a>b，＝1⇔a＝b，<1⇔a
