高考专题突破六 高考中的概率与统计问题题型一 离散型随机变量的均值与方差例 1 某品牌汽车 4S 店，对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分 9 期付款的频率为 0.2.4S 店经销一辆该品牌的汽车，顾客分 3 期付款，其利润为 1 万元；分 6 期或 9 期付款，其利润为 1.5 万元；分 12 期或 15 期付款，其利润为 2 万元．用 η 表示经销一辆汽车的利润.付款方式分 3 期分 6 期分 9 期分 12 期分 15 期频数4020a10b(1)求上表中的 a，b 值；(2)若以频率作为概率，求事件 A“购买该品牌汽车的 3 位顾客中，至多有 1 位采用分 9 期付款”的概率 P(A)；(3)求 η 的分布列及均值 E(η)．解 (1)由＝0.2，得 a＝20.又 40＋20＋a＋10＋b＝100，所以 b＝10.(2)记分期付款的期数为 ξ，ξ 的可能取值是 3,6,9,12,15.依题意，得P(ξ＝3)＝＝0.4，P(ξ＝6)＝＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2，P(ξ＝12)＝＝0.1，P(ξ＝15)＝＝0.1.则“购买该品牌汽车的 3 位顾客中，至多有 1 位分 9 期付款”的概率为 P(A)＝0.83＋C×0.2×(1－0.2)2＝0.896.(3)由题意，可知 ξ 只能取 3,6,9,12,15.而 ξ＝3 时，η＝1；ξ＝6 时，η＝1.5；ξ＝9 时，η＝1.5；ξ＝12 时，η＝2；ξ＝15时，η＝2.所以 η 的可能取值为 1,1.5,2，且 P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2.故 η 的分布列为η11.52P0.40.40.2所以 η 的均值 E(η)＝1×0.4＋1.5×0.4＋2×0.2＝1.4.思维升华离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．1跟踪训练 1 某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学生实践中心积极参与，从 8名学生会干部(其中男生 5 名，女生 3 名)中选 3 名参加志愿者服务活动．若所选 3 名学生中的女生人数为 X，求 X 的分布列及均值．解 因为 8 名学生会干部中有 5 名男生，3 名女生，所以 X 的分布列服从参数 N＝8，M＝3，n＝3 的超几何分布．X 的所有可能取值为 0,1,2,3，其...
