三重积分的计算方法三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：假如先做定积分，再做二重积分，就是“投影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy 面投影域 D。多 D 上一点（x,y）“穿线”确定 z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成“后二”这一步。假如先做二重积分再做定积分，就是“截面法”，也 即 “ 先 二 后 一 ” 。 步 骤 为 ： 确 定位 于 平 面之 间 ， 即，过 z 作平行于 xoy 面的平面截，截面。区域的边界曲面都是 z 的函数。计算区域上的二重积分，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。。当被积函数 f（z）仅为 z 的函数（与 x,y无关），且的面积容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到 xoy 面，得投影区域 D(平面)D 是 X 型或 Y 型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）D 是圆域（或其部分），且被积函数形如时，可选择柱面坐标系计算（当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）是球体或球顶锥体，且被积函数形如时，可选择球面坐标系计算。1.对三重积分，采纳“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数 f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）： 是在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特别地，对积分时，f(x,y,z)与 x,y 无关，可直接计算。因而中只要, 且 f(x,y,z)仅含 z 时，选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z 或时，可考虑用柱面坐标计算。历年真题1、计算三重积分，其中为平面与三个坐标面围成的闭区域。【解析】“投影法” （1）画出及在 xoy 面投影域 D. （2）“穿线”X 型 D：∴：（3） “截面法”（1）画出。（2） 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得。是 两 直 角 边 为 x,y 的 直 角 三 角 形 ，（3）计算 2、计算，其中是和 z=1 围成的闭区域。【解析】 “投影法”（1）画出及在 xoy 面投影域 D. 由消去 z，得即 D： （2）“穿线”， X 型 D：...
