例说放缩法证明不等式宜都二中 唐 华高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。一、 放缩后转化为等比数列。例 1. 满足：（1）用数学归纳法证明：（2），求证：解：(1)略(2) 又 ， 迭乘得： 点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题假如放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例 2．数列，，其前项和为求证：解：令，的前项和为当时， 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。例 3.已知函数的图象在处的切线方程为（1）用表示出（2）若在上恒成立，求的取值范围（3）证明：解：（1）（2）略（3）由（II）知：当令且当令即将上述 n 个不等式依次相加得整理得点评：本题是 2025 湖北高考理科第 21 题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、 放缩后迭乘例 4．.（1）求（2）令，求数列的通项公式（3）已知，求证： 解：（1）（2）略 由（2）得 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多米诺骨牌效应。只是求项和时用迭加，求项乘时用迭乘。
