高三数学重点知识解析：参数取值题型与分析素材

高三数学重点知识解析：参数取值题型与分析（Ⅰ）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例 1．已知当 xR 时，不等式 a+cos2x<5 4sinx+45 a恒成立，求实数 a 的取值范 围。分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x，其中 x 的范围已知（xR），另一变量 a 的范 围即为所求，故可考虑将 a 及 x 分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<45 a a+5 要使上式恒成立，只需45 a a+5 大于 4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转 化成求 f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。f(x)= 4sinx+cos2x= 2sin2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+33,∴45 a a+5>3 即45 a>a+2上式等价于2)2(4504502aaaa或04502aa，解得54a<8.说明：注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=1 2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则 可把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型。另解：a+cos2x<5 4sinx+45 a即 a+1 2sin2x<5 4sinx+45 a,令 sinx=t,则 t[ 1,1],整理得 2t2 4t+4 a+45 a>0,( t[ 1,1])恒成立。设 f(t)= 2t2 4t+4 a+45 a则二次函数的对称轴为 t=1,f(x)在[ 1，1]内单调递减。只需 f(1)>0,即45 a>a 2.(下同)例 2．已知函数 f(x)在定义域（ ，1]上是减函数，问是否存在实数 k，使不等式 f(k sinx)f(k2 sin2x)对一切实数 x 恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于 k sinx≤k2 sin2x≤1 对于任意 x∈R 恒成 立，这又等价于用心 爱心 专心)2()21(sin41)1(sin12222xkkxk对于任意 x∈R 恒成立。不等式（1）对任意 x∈R 恒成立的充要条件是 k2≤(1+sin2x)min=1,即 1≤k≤1----------(3)不等式（2）对任意 x∈R 恒成立的充要条件是 k2 k+ 41≥[(sinx 21)2]max= 49,即 k≤ 1 或 k≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得 k= 1,故存在 k= 1 适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例 3．设直线l 过点 P（0，3），和椭圆xy22941顺次交于 A、B 两点，试求APPB...