函数的凸性及应用文献综述 文献综述函数的凸性及应用一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念、综述范围,扼要说明有关主题争论焦点) 凸函数是一类重要的函数。对函数凹凸性的讨论,在数学分析的多个分支都有用处。特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数都有着十分重要的作用。凸函数的定义,最早是由 Jersen 给出的。各文献中对凸函数的定义不尽相同,在大学的数学分析或高等数学教材中,常常只讨论具有二阶导数的凸函数。 本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。然后由基本性质进行延伸,进一步给出凸函数的应用。对于凸函数的应用,本文拟将主要介绍以下的几点:凸函数在证明 Jensen 不等式时的应用;凸函数在 Hadamard不等式中的证明的应用;凸函数在分析不等式中的应用等。二、主题部分(阐明有关主题的历史背景、现状和进展方向,以及对这些问题的评述) 凸函数具有一些非常优良的性质[1],有着较好的几何和代数性质,在数学各个领域中都有着广泛的应用。1905 年丹麦数学家 Jensen 首次给出了凸函数的定义,经过近百年努力,凸函数的讨论在各个方面正得到长足的进展,在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。凸函数是一类非常重要的函数,应用函数的凸性,不仅可以科学、准确的描述函数的图像,而且也有证明不等式的凸函数方法,同时,凸函数也是优化问题中重要的讨论对象,它讨论的内容非常丰富,讨论的结果也在许多领域得到了广泛的应用,所以讨论凸函数的性质及应用就显得尤为重要。2.1 凸函数的定义2.1.1 凸函数一些基本定义 通过数学分析的学习,对于函数和的图像,我们很容易看出它们之间的不同点:曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线则相反,在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。通过这两个函数,我们把前一种特性的曲线称为凸的,后一种为凹的。对于凸的我们称其函数为凸函数。 数学分析[2]给出了凸函数的基本定义:设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点,和任意实数总有,则称为上的凸函数。 葛丽萍[3]介绍了以下的结论:若区间上的任意三点,总存在,这个条件是为上的凸函数的充要条件,该证明在数学分析中已经详细的给出了。同理,通过推广,可以得出另一个更进一步的充要条件:在区间上的任意三点,有成立,则为上的凸函数。并且若为区间上的二阶可导函数,则在上为凸函数的充要条件为。2.1.2 严格凸函数的定义 江芹,陈文略[4]给出了严格凸函数的定义并且讨论了区间上严格凸函数的判定方...
