复积分的计算方法孟小云 20252115025（数学科学学院 数学与应用数学专业 2025 级 3 班）指导老师 海泉摘要：本文归纳了计算复积分的多种方法，并举例说明了它们的应用。关键词：复变函数；复积分在复变函数的分析理论中，复积分是讨论解析函数的重要工具，解析函数的许多重要性质都要利用复积分来表述和证明的，因此，对复积分及其计算的讨论显得尤为重要。本文介绍了复变函数积分常规的计算方法、利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算方法。利用这些方法可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷。接下来要介绍计算复积分的常见的一些方法。方法 1：参数方程法定理：设光滑曲线 c:z=z(t)=x(t)+iy(t) (),在上连续，且0，又设沿 c 连续，则。1、 若曲线 c 为直线段，先求出 c 的参数方程。c 为过两点的直线段，c：为始点为终点。例 1 计算积分，路径为直线段.解：设原式=2、 若曲线ｃ为圆周或圆周的一部分，例如 c 为以为心Ｒ为半径的圆。设 c：即（曲线的正方向为逆时针）例 2 计算积分c 为从－１到１的下半单位圆周.解：设原式注：上述方法只适用于积分曲线式特别类型的曲线。方法 2：利用柯西积分定理柯西积分定理：设函数在复平面上的单连通区域内解析，c 为内任一条周线，则例 3 计算 c 为单位圆周.解：是的解析区域内的一闭曲线，由柯西定理有注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西定理很简单。1、 柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和。适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形。例 4 计算的值，c 为包含圆周的任何正向简单闭曲线.解；分别以为心作两完全含于 c 内且互不相交的圆周则有原式＝ ＝ ＝ 2、 若积分与路径无关的条件下也可直接按实积分中的牛顿—莱布尼茨公式计算。例 5 计算.解：因为在复平面上处处解析，所以积分与路径无关。原式=注：利用柯西积分定理也有一定的局部性，主要体现在被积函数上，只有某些特别的函数或能拆成若干个特别函数的函数计算起来较方便。方法 3：利用柯西积分公式1、 柯西积分公式：设区域的边界是周线（复周线）c，函数在内解析，在内连续，则 例 6 计算，其中ｃ为圆周.解：因被积函数的两个奇点是分别以这两点为心作两个完全含于 c 而且互不相交的圆周 原式= =此题是柯西积分公式与柯西积分定理应用的结合，比...
