专题 2 动力学中的典型“模型”模型一 等时圆模型1.模型特征(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图 1甲所示。(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。图 12.思维模板【例 1】 如图 2 所示，ab、cd 是竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，b 点为圆周的最低点，c 点为圆周的最高点，若每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，将两滑环同时从 a、c 处由静止释放，用 t1、t2分别表示滑环从 a 到 b、从 c 到 d 所用的时间，则( )图 2A.t1＝t2 B.t1＞t2C.t1＜t2 D.无法确定解析 设光滑细杆与竖直方向的夹角为 α，圆周的直径为 D，根据牛顿第二定律得滑环的加速度为 a＝＝gcos α，光滑细杆的长度为 s＝Dcos α，则根据 s＝at2得，t＝＝＝，可见时间 t 与 α 无关，故有 t1＝t2，因此 A 项正确。答案 A1.(2020·广东省普宁市高三冲刺模拟)如图 3 所示，在倾角为 θ＝30°的斜面上方的 A 点处悬挂一光滑的木板 AB，B 端刚好在斜面上。木板与竖直方向 AC 所成角度为 α，一小物块自 A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则 α 角的大小为( )图 3A.α＝10° B.α＝15°C.α＝30° D.α＝60°解析 如图所示：在竖直线 AC 上取一点 O，以适当的长度为半径画圆，使该圆过 A 点，且与斜面相切于 D 点，根据等时圆的结论可知：A 点滑到圆上任一点的时间都相等，所以由 A 点滑到 D 点所用时间比由 A 到达斜面上其他各点时间都短，将木板下端 B 点与 D 点重合即可，而角 COD 为 θ，所以 α＝＝15°，故选 B。答案 B2.(2020·合肥质检)如图 4 所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于 O 点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑轨道 AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为 α>β>θ，现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为( )图 4A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB>tCD>tEFC.tAB
