高等数学 向量代数与空间解析几何复习

第五章 向量代数与空间解析几何5.1 向量既有大小又有方向得量表示:或ﻩ(几何表示)向量得大小称为向量得模,记作、|a｜、1． 方向余弦: r=(x,y,ｚ),| ｒ |=2． 单位向量ﻩ 模为 1 得向量。3． 模ﻩ4． 向量加法(减法)ﻩ5． a·b＝| a ｜·｜ ｂ |cosﻩａ⊥ｂ a·b＝0(a·ｂ=b·a)6． 叉积、外积|ab| =｜ a ｜｜ ｂ |si ｎ= a／／ｂ ab＝0。( ab＝ － ba) 7． 数乘:例１ ,与夹角为,求。解 ﻩ 例 2 设,求。ﻩ解 根据向量得运算法则ﻩ例３ 设向量,,,为实数,试证:当模 x 最小时,向量ｘ必须垂直于向量 b。解 由,得,,于就是ﻩ由此可知,当时,模最小,因而故ﻩ所以,当模 x 最小时,向量 x 必须垂直于向量 b。8． 向量得投影Prj ｂ=｜b｜为向量 b 在向量 a 上得投影。a·b=｜ a ｜P ｒ jb5、2 空间平面与直线5。２、1 空间平面点法式方程:与定点连线与非零向量ｎ=(ａ,b,c)垂直得点得集合。、平面得一般方程:,n＝(Ａ,B,Ｃ)截距式方程:三点式方程 例 1 求过,,点得平面方程解(1)点法式ﻩｎ＝。则平面方程为,即。解(2)设平面方程为,代入得。代入,得解之得代入方程消去 A,得方程为例 2 一平面通过点,它在正轴,正轴上得截距相等,问此平面在三坐标面上截距为何值时,它与三个坐标平面围成得四面体得体积最小?并写出此平面方程。ﻩ解 依题意设所求平面得截距式方程为,由于点在此平面上,故有,解之。四面体之体积,,令得、例 3 求过点,与三点得平面方程。解 由三点式方程故所求方程为,即5。2.2 空间直线方向向量:平行于一已知直线得任一向量称为直线得方向向量。易知直线上得任一向量都平行于直线得方向向量、若设已知向量为,则直线得对称式方程为一般式方程:参数式方程:例 1 求过点点,且与直线平行得直线方程解 将直线写成,以为参数,则,故直线方程为ﻩﻩ例 2 求过点且平行于平面,又与直线相交得直线方程。解 设Ｑ为两直线得交点,则,即,ﻩ)ﻩﻩﻩ１(又 Q 在 L 上:ﻩﻩﻩﻩ)ﻩﻩﻩﻩ２(令(２)＝ｔ 解得 x, y, z 代入(１)解得,在反代入(２)得 Q 得坐标为,得直线为ﻩﻩ5。3 点、平面、直线得位置关系1． 点到平面得距离点到平面Ａ x+B ｙ＋Ｃ z＋Ｄ=0 得距离公式为:d =ﻩ例 1 求平面与平面得交角平分面方程。平分面上得点到两面之间距离相等,故整理得:或ﻩ例 2 求平行于平面且与球面相切得平面方程。解 由于所求平面与平行,故可设其为。ﻩ因为与球面相切,所以球心到得距...