【金版学案】2015-2016 学年高中数学 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教 A 版选修 1-1►基础梳理1．平面内与两个定点 F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|且大于 0)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．♨思考：在双曲线的定义中，为什么常数要大于 0 且小于|F1F2|?答案：答案略．2．双曲线的标准方程．(1)焦点在 x 轴上，方程为－ ＝ 1 ，焦点坐标为(± c ， 0 ) ．a，b，c 的关系：a＞0，b＞0，c2＝a 2 ＋ b 2 ．(2)焦点在 y 轴上，方程为－＝ 1 ，焦点坐标：(0 ， ± c ) ．a，b，c 的关系：a＞0，b＞0，c2＝a 2 ＋ b 2 ．♨思考：椭圆的标准方程和双曲线的标准方程有什么区别与联系？答案：答案略．,►自测自评1．双曲线－＝1 的焦距是(D)A．3 B．4C．3 D．4解析：c2＝10＋2＝12，∴c＝2，焦距 2c＝4.2．双曲线－＝1 的焦点坐标是( ± ， 0 ) ．解析：由双曲线方程知 x2的系数为正，所以焦点在 x 轴上．又 c2＝a2＋b2＝3＋2＝5.3．已知双曲线－＝1 上一点 P 到双曲线的一个焦点的距离为 3，则 P 到另一个焦点的距离为 9．解析： a＝3，设双曲线的两个焦点为 F1，F2， |PF1|＝3，∴P 在靠近 F1的一支上． |PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9.∴P 到另一个焦点的距离为 9.1．到两定点 F1(－3，0)、F2(3，0)的距离之差的绝对值等于 5 的点 M 的轨迹为(C)A．椭圆 B．线段C．双曲线 D．两条射线2．(2013·揭阳二模)以椭圆＋＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(B)A.－x2＝1 B．x2－＝1C.－＝1 D.－＝13．双曲线－＝1 的焦点在 y 轴上，则 m 的取值范围是________．解析：由题可知∴－2＜m＜－1.答案：(－2，－1)4．在双曲线中，＝，且双曲线与椭圆 4x2＋9y2＝36 有公共焦点，求双曲线的方程．解析：把椭圆的方程写成标准方程＋＝1，∴椭圆的焦点坐标是(±，0)． 双曲线与椭圆有相同的焦点，∴双曲线的焦点在 x 轴上，且 c＝. ＝，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝1，∴双曲线的方程为－y2＝1.5．设双曲线－＝1，F1，F2是两个焦点，点 M 在双曲线上，若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面1积．解析：由题意知 a2＝4，b2＝9，∴c2＝13.设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，则由双曲线定义知|r1－r2|＝2a＝4，∴(r1－r2)2＝r＋r－2r1r2＝16.①又 ∠F1MF2＝90°，∴r＋r＝|F1F2|2＝4c2＝52.②∴由①②得 r1r2＝18....
