谈一类递推数列求通项公式的典型方法除了我们经常接触的最基本的等差数列和等比数列之外,我们还经常遇到一类递推数列求通项的问题.它的基本形式是:已知1a 及递推关系1nnapaq ((1)0)pq p 求na .其求解方法有多种,下面结合具体例子介绍三种较为典型的解法.题目:在数列{}na(不是常数数列)中,1122nnaa 且113a ,求数列{}na的通项公式.解法一:因为1122nnaa ,所以,1122nnaa ,所以,111 ()2nnnnaaaa,所以,数列1{}nnaa 是 公 比 为 12的 等 比 数 列 . 又21116aa, 所 以 ,11111( )62nnnaa , 将1122nnaa 代入上式可得11114( )32nna .[评注]这种方法叫做差分法 .即由条件1nnapaq ((1)0)pq p 进行递推可得1nnapaq,进一步可得11()nnnnaap aa,数列1{}nnaa 是公比为 p 的等比数列,所以,1121()nnnaaaa p ,再将1nnapaq 代入即可求得121()1nnaa pqap.解 法 二 : 所 给 数 列 对 应 的 特 征 方 程 为 :122xx, 所 以 , 特 征 根 为4x . 因 为1122nnaa ,所以,114(4)2nnaa ,即数列 {4}na 是公比为 12的等比数列,又11143a ,所以,4na 1111( )32n.故11114( )32nna .[评注]:这种方法叫做特征根法,因为1p ,所以满足 xpxq(叫做此数列对应的特征方程)的 x 存在,由1nnapaq 可得1()nnaxpaqx ()np ax,所以,数列{}nax是以1ax为首项 ,以 p 为公比的等比数列或各项均为 0,于是再根据条件11()nnaxax p ,所以,11()nnaax px.解 法 三 : 设11 ()2nnaa , 即11122nnaa 与 已 知1122nnaa 对 比 可 得122 ,所以,4 .所以,可得114(4)2nnaa ,即数列{4}na 是公比为 12的等比数列或者各项均为 0.(下同解法二).1[评注]:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列,再求通项公式.设1()nnap a ,与原递推数列进行对比可以建立方程,求数所设实数 的值即可得1{}na 是以1a为首项,以 p 为公比的等比数列.以上三种方法虽然各不相同,但是它们有一点是共同的,即构造一个等比数列,这就是本题的实质所在.2
