高中数学 知识点总结_函数值域的求法素材 新人教版

有关函数最值问题方法与策略1.单调性法：利用函数的单调性求最值例 1 求函数)4(log221xxy的值域。解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：)0)((4)(2xfxxxf配方得：)4,0)(4)2()(2（所以xfxxf由复合函数的单调性（同增异减）知：),2[y。2.判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数( )f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0  来求出( )f x 的最值。例 2 求函数22( )1xf xxx的最值.解：由22( )1xf xxx得2( )( )2( )0f x xf xxf x ，因为 xR，所以0 ，即22( )24( )0f xfx ，解得22( )3f x.因此( )f x 的最大值是 23，最小值是－2.例 3 求函数 y1=12211xxx的值域.11111 解：原函数化为关 x 的一元二次方程（y-11)2x+（y1-111）x=101（1）当 y≠1 时，1xR1,△1=1(-1) 2 -4(y-1)(y-1)1≥011 解得： 21 ≤y≤ 23（2）当 y=1，时，x1=10,而 1[1 21 ,1 23 ]1 故函数的值域为[ 21 ， 23 ]13.配方法：利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。1此方法一般可解决形如 y = a [f(x)]2 + b f(x) + c (a≠0)的函数的值域与最值。例 4 求函数 y = x2 - 6x + 2 的值域。解法一： y = x2 - 6x + 2＝( x - 3)2－7 又 ( x - 3)2≥0 ∴( x - 3)2－7≥－7 ∴函数的值域是［－7，＋∞）这里用到了配方法求函数的值域.解法二：二次函数 y = x2 - 6x + 2 是对称轴为 x = 3，开口向上的抛物线，故当 x = 3 时，函数有最小值 f(3)＝－7. ∴函数的值域是［－7，＋∞）这里运用了二次函数的图象和性质求值域例 5 求函数)4,0(422xxxy的值域.解：不妨设:)0)((4)(2xfxxxf配方得:)4,0(4)2()(2xxxf利用二次函数的相关知识得4,0)(xf,从而得出：2,2y。说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：0)(xf。4.换元法：适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例 6 求函数xxy41332的值域。解：由于题中含有x413 不便于计算，但如果令：xt413 注意0t从而得：)0(321341322...