1.2.3 直线与平面的夹角学 习 目 标核 心 素 养1．理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直线与平面的夹角．(重点、难点) 通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养．倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？1．直线和平面所成的角2．最小角定理3．用空间向量求直线与平面的夹角如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面 α 的法向量，设直线 l 与平面 α 所成角的大小为 θ，则 θ＝－〈 v ， n 〉 或 θ＝〈 v ， n 〉－ ，特别地 cos θ＝sin 〈 v ， n 〉 或 sin θ＝|cos 〈 v ， n 〉 | ．思考：直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？[提示] 不是．直线和平面的夹角为．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．( )(2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．( )(3)斜线与平面的夹角为[0,90°]．( )(4)直线与平面的夹角为[0,90°]．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√[提示] (1)× 错误，角的度数还可以是零度．(2)√ 根据线面角的定义知正确．(3)× 斜线与平面的夹角为(0,90°)．(4)√ 正确．2．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于( )A．120° B．60°C．30° D．以上均错C [ 设 直 线 l 与 平 面 α 所 成 的 角 为 θ ， 则 sin θ ＝ |cos 120°| ＝ ， 又 0≤θ≤90°，∴θ＝30°．]3．已知向量 m，n 分别为直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－，则直线 l 与平面 α 所成的角为________．60° [设直线 l 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈m，n〉|＝．又 θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]4．在正方形 ABCDA1B1C1D1中，CB1与平面 AA1C1C 所成角的大小为________．30° [如图，连接 B1D1 交 A1C1 于 O，连接 OC，因为几何体是正方体，所以 OB1⊥平面AA1C1C，所以∠B1CO 是 CB1与平面 AA1C1C 所成角，设正方体的棱长为 1，则 OB1＝，CB1＝，sin∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°．即 CB1与...
