高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高中选修4-5数学学案

二 一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 1 三维形式的柯西不等式阅读教材 P37～P38“探究”以上部分，完成下列问题．设 a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋ a 3b3) 2 .当且仅当 b1＝b2＝ b 3＝ 0 或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知 x，y，z∈R＋且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2的最小值是( )A．1 B. C. D．2【解析】 根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.【答案】 B教材整理 2 一般形式的柯西不等式阅读教材 P38～P40，完成下列问题．设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥( a 1b1＋ a 2b2＋…＋ a nbn) 2 .当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．已知 a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则 a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是( )A．1 B．2C．3D.4【解析】 (a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1 时取等号，∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是 1.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 1解惑： [小组合作型]利用柯西不等式求最值 已知 a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求 a＋2b＋3c 的最小值及取得最小值时a，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 a，b，c∈(0，＋∞)，∴·(a＋2b＋3c)＝[＋＋][()2＋()2＋()2]≥＝(1＋2＋3)2＝36.又＋＋＝2，∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立，综上，当 a＝b＝c＝3 时，a＋2b＋3c 取得最小值 18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知 x＋4y＋9z＝1，求 x2＋y2＋z2的最小值．【解】 由柯西不等式，知(x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2)＝98(x2＋y2＋z2)．又 x＋4y＋9z＝1，∴x2＋y2＋z2≥，(*)当且仅当 x＝＝时，等号成立，∴x＝，y＝...