高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用（第2课时）均值不等式的应用学案 新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案

第 2 课时 均值不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.已知 x，y 都是正数．(1)若 x＋y＝S(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值.(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．1．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则 y＝＋的最小值是( )A. B．4 C. D．5C [ a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝＝＋≥＋2＝.故 y＝＋的最小值为.]2．若 x>0，则 x＋的最小值是________．2 [x＋≥2＝2，当且仅当 x＝时，等号成立．]3．设 x，y∈N*满足 x＋y＝20，则 xy 的最大值为________．100 [ x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2，∴xy≤100.]利用均值不等式求最值【例 1】 (1)已知 x<，求 y＝4x－2＋的最大值；(2)已知 00，∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当 5－4x＝，即 x＝1 时，上式等号成立，故当 x＝1 时，ymax＝1.(2) 00，∴y＝×2x(1－2x)≤×2＝×＝.∴当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝时，ymax＝.利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.1．(1)已知 x>0，求函数 y＝的最小值；(2)已知 00)的最小值为 9.(2)法一： 00.∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)≤＝.当且仅当 3x＝1－3x，即 x＝时，等号成立．∴当 x＝时，函数取得最大值.法二： 00.∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝，当且仅当 x＝－x，即 x＝时，等号成立．∴当 x＝时，函数取得最大值.利用均值不等式求条件最值【例 2】 已知 x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求 x＋2y...