3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2.会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点)3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)1.通过本节知识的学习，培养学生的数学抽象素养.2.借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升学生逻辑推理、数学运算素养.1．平面的法向量及其应用(1)平面的法向量：如果向量 n 的基线与平面 α 垂直，则向量 n 叫做平面 α 的法向量或说向量 n 与平面 α 正交．(2)平面的向量表示式：设 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，用AM · n ＝ 0 表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面，这个式子通常称为一个平面的向量表示式．(3)两个平面平行或垂直的判断：设 n1，n2分别是平面 α，β 的法向量，则 α∥β 或 α 与β 重合⇔n1∥n2；α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝ 0. 思考：平面的法向量有何作用？是否唯一？[提示] 平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．2．三垂线定理及其逆定理：(1)射影：①已知平面 α 和一点 A，过点 A 作 α 的垂线 l 与平面 α 相交于点 A′，则 A′就是点 A 在平面 α 内的正射影，简称射影．② 图形 F 上所有的点在平面 α 内的射影所成的集合 F′，叫做图形 F 在平面 α 内的射影(2)三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．(3)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．1．直线 l 的方向向量 s＝(－1,1,1)，平面 α 的法向量为 n＝(2，x2＋x，－x)，若直线 l∥平面 α，则 x 的值为( )A．－2 B．－ C. D．±D [线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得 x＝±.]2．设平面 α 的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面 β 的法向量的坐标为(－2，－4，k)．若α∥β，则 k 等于( )A．2 B．－4C．4 D．－2C [因为 α∥β，所以＝＝，所以 k＝4.]3．已知平面内的两个向量 a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平面的一个法向量为 ( )1A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)C [显然 a 与 b 不平行，设平...
