章末复习提升课1．空间向量运算的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)重要结论a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.2．模、夹角和距离公式(1)设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝＝；②cos〈a，b〉＝＝ .(2)设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB|＝.3．空间向量的运算与线面位置关系的判定设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0，l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k∈R)．弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别(1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角．1(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去 90°为所求的线面角．(3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角． 空间向量的运算 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F、G 分别在边 CB，CD上，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四边形 EFGH 为梯形．【证明】 因为EH＝AH－AE，AH＝AD，AE＝AB，所以EH＝BD.①因为FG＝CG－CF，又因为CG＝CD，CF＝CB，所以FG＝(CD－CB)＝BD.②由①②，得EH＝FG，所以EH∥FG，且|EH|≠|FG|.又因为点 F 不在直线 EH 上，所以 EH∥FG 且|EH|≠|FG|，所以四边形 EFGH 为梯形． 空间向量与空间位置关系 如图所示，已知 PA⊥平面 ABCD，ABCD 为矩形，PA＝AD，M，N 分别为 AB，PC 的中点，求证：(1)MN∥平面 PAD；(2)平面 PMC⊥平面 PDC.【证明】 如图所示，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz.设 PA＝AD＝a，AB＝b.则有，(1)P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)．因为 M，N 分别为 AB，PC 的中点，所以 M，N.所以MN＝，AP...
