高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.1.2 相似三角形的性质学案 新人教B版选修4-1-新人教B版高二选修4-1数学学案

1．1.2 相似三角形的性质[读教材·填要点]相似三角形的性质定理(1)性质定理 1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．(2)性质定理 2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．[小问题·大思维]1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．利用性质 1 求边长或面积[例 1] 如图，梯形 ABCD，AB∥CD，E 是对角线 AC 和 BD 的交点，S△DEC∶S△DBC＝1∶3，求：的值．[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形的性质求得之比，进而求得的值，最后求得的值．[精解详析] S△DEC∶S△DBC＝1∶3，∴DE∶DB＝1∶3，即 DE∶EB＝1∶2.又 DC∥AB，∴△DEC∽△BEA.∴S△DEC∶S△BEA＝1∶4.又 DE∶EB＝CE∶EA＝1∶2，∴S△DEC∶S△DEA＝1∶2.∴S△DEC∶S△ABD＝1∶6.即＝.相似三角形的性质把相似三角形对应边上的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比1或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长．1．△ABC∽△A′B′C′，AD 和 A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的中线，且 AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC 的周长与△A′B′C′的周长之比为 7∶3；③△ABC 与△A′B′C′的对应高之比为 7∶3；④△ABC 与△A′B′C′的对应中线之比为 7∶3.其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：由相似三角形的性质知 4 个命题均正确，故选 D.答案：D利用相似三角形的性质解决实际问题[例 2] 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC＝200 mm，高 AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的 2 倍的矩形零件，使矩形较短的边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，求这个矩形零件的边长．[思路点拨] 本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC 求解．[精解详析] 设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC 上，则点 E、H 分别在 AB、AC上，△ABC 的高 AD 与边 EH 相交于点...