1．3.1 圆 幂 定 理[对应学生用书 P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点 P，作⊙O 的任一条割线交圆于 A，B 两点，则 PA·PB 为定值，设定值为 k，则：(1)当点 P 在圆外时，k＝PO 2 － r 2 ，(2)当点 P 在圆内时，k＝r 2 － OP 2 ，(3)当点 P 在⊙O 上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书 P26]相交弦定理的应用[例 1] 如图，AB、CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB的中点 P，PD＝a，∠OAP＝30°，求 CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在 Rt△OAP 中，求得 AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] P 为 AB 的中点，∴由垂径定理得 OP⊥AB.在 Rt△OAP 中，BP＝AP＝acos30°＝a.由相交弦定理，得 BP·AP＝CP·DP，1即 2＝CP·a，解之得 CP＝a.在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段 CD 的长为________．解析：因为 AF＝3，EF＝，FB＝1，所以 CF＝＝＝2，因为 EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，所以＝＝＝＝，所以 BD＝＝＝，且 AD＝4CD，又因为 BD 是圆的切线，所以 BD2＝CD·AD＝4CD2，所以 CD＝.答案：切割线定理的应用[例 2] 自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA，切点为 A，M 为 PA 的中点，过点 M 引圆的割线交圆于 B，C 两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为 MA 为圆 O 的切线，所以 MA2＝MB...
