高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介 2 球坐标系学案（含解析）新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案VIP专享

2．球坐标系球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与Oz 轴正向所夹的角为 φ.设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角为 θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组( r ， φ ， θ ) 表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记作 P ( r ， φ ， θ ) ，其中r ≥0,0≤ φ ≤π ， 0≤ θ ＜ 2π .(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为 将点的球坐标化为直角坐标 已知点 P 的球坐标为，求它的直角坐标． 直接套用变换公式求解． 由变换公式，得x＝rsin φcos θ＝4sincos＝2.y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2.z＝rcos φ＝4cos＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2)．已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是 φ，哪个角是θ.1．求下列各点的直角坐标：(1)M；(2)N.解：(1)由变换公式，得x＝rsin φcos θ＝2sincos＝，y＝rsin φsin θ＝2sinsin＝，z＝rcos φ＝2cos＝.∴它的直角坐标是.(2)由变换公式，得x＝rsin φcos θ＝2sincos＝－.y＝rsin φsin θ＝2sinsin＝－.z＝rcos φ＝2cos＝－.∴它的直角坐标为.2．将点 M 的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．解： (r，φ，θ)＝(π，π，π)，∴x＝rsin φcos θ＝0，1y＝rsin φsin θ＝0，z＝rcos φ＝－π.∴点 M 的直角坐标为(0,0，－π). 将点的直角坐标化为球坐标 设点 M 的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标． 直接套用坐标变换公式求解． 由坐标变换公式，可得r＝＝＝2.由 rcos φ＝z＝，得 cos φ＝＝，φ＝.又 tan θ＝＝1，θ＝(M 在第一象限)，从而知 M 点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点 M 的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出 r，θ，φ 代入点的球坐标即可；也可以利用 r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ 和 φ 的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．3．求下列各点的球坐标：(1)M(1，，2)；(2)N(－1,1，－)．解：(1)r＝＝ ＝2，由 z＝rcos φ，得cos φ＝＝＝.∴φ＝，又 tan θ＝＝＝，x>0，y>0，∴θ＝，∴它的球...