高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理（1）课堂导学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

1.3.1 二项式定理 1课堂导学三点剖析一、利用（a+b)n的二项展开式解题【例 1】 求二项式（2x-223x)5的展开式解法一：直接用二项式定理.（2x-223x)5=05C (2x)5+15C (2x)4(-223x)+25C (2x)3·(-223x)2+35C (2x)2(-223x)3+45C(2x)(-223x)4+55C (-223x)5=32x5-120x2+180x-1-135x-4+107322438405 xx解法二：先化简，后用二项式定理（2x-223x)5=10105332132)34(xxx)3()4()4([43455355xCxC255054315323252333512032])3()3()4()3()4()3()4(xxCxCxCxC1074322438405135180xxxx温馨提示 求二项式的展开式有时需先化简，特别是较复杂的展开式问题，如(|x|+||1x-2)5的展开式，可先转化为(||1||xx )10然后再展开.二、求展开式的某一项【例 2】 （1）在(312xx )8的展开式中常数项是( )A.-28 B.-7 C.7 D.28（2）在(x+ x1 )2n的展开式中，第 4 项的系数与第 6 项的系数相等，求 n 并求展开式中的常数项.解析：（1）Tk+1=(-1)kkC8 ( 2x )8-k·kx31=(-1)kkC8 ·2k-8·kx348.令 8-k34=0，得 k=6.∴T7=T6+1=68C ·26-8=28C ·2-2=7.应选 C.（2）由已知得32nC=52nC，由组合数得 3=2n-5，∴2n=8,n=4.展开式通项为rrrxxC)1(88，要为常数项；应使 8-r-r=0,即 r=4.∴常数项为48C =70.1温馨提示 求二项展开式中有关的常数项、有理项等特殊项的问题，可通过求二项展开式的通项，根据问题的要求，列出 n,k 的方程（组）求解.三、求二项式系数、某项的系数问题【例 3】(x +1)4（x-1）5的展开式中，x4的系数是( )A.-40 B.10 C.40 D.45解析:展开式的通项为kkkrrxCxC)1(55244=22144)1(krrkxC(0≤r≤4,0≤k≤5).令2214kr .得 2k+r=6.∴,3,0kr或,2,2kr或.1,4kr∴x4的系数为154425243504CCCCCC=45，应选 D.温馨提示此类问题也可用加法原理，从项的来源求解：（x +1）4（x-1）5是两个二项式相乘，从（x-1）5展开式中取 4 次项，从（x +1）4展开式中取常数项相乘；从（x-1）5展开式中取 3 次项，从（x +1）4展开式中取 1 次项相乘；从（x-1）5展开式中取 2 次项，从（x +1）4展开式中取 2 次项相乘，然后相加，即可得到要求的（x +1）4(x-1)5的展开式中 x 的 4 次项的系数.即-45C·44C +25C ·24C +35C ·（-1）3·04C =-5+60-10=45.这也是求二项展开式系数的一种重要方法.各个击破【类题演...