高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2 二项式定理（2）课堂导学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案

1.3.2 二项式定理（2）课堂导学三点剖析一、二项式定理的应用——解决整除、余数有关问题【例 1】 9192除以 100 的余数是多少？ 解析:9192=（100-9）92=10092-192C·10091·9+292C·10090·92-…-9192C·100·991+992，前面各项均能被 100 整除，只有末项 992不能被 100 整除，于是求 992除以 100 的余数. 992=（10-1）92=1092-192C·1091+292C·1090-…+9092C·102-9192C·10+（-1）92=1092-192C·1091+292C·1090-…+9092C·102-920+1=（1092-192C·C91+292C·1090-…+9092C·102-1 000）+81∴被 100 除的余数为 81，即 9192除以 100 的余数为 81.二、二项式定理的应用——近似计算问题【例 2】 一个螺旋桨在某种情况下转动，它所消耗的功率 P（单位：马力）和螺旋桨的直径 D（单位：米）的关系是 P=6D5,已知 D=3.11，求 P(精确到 100 马力)解析： D=3.11∴P=6×(3.11)5=6×(3+0.11)5=6［35+15C ·34·0.11+25C ·33·(0.11)2+…+55C (0.11)5］在精确到 100 马力的要求下，第三项及其以后的各项可以略去不计.∴P≈6×［35+15C ·34×0.11］=6×（243+44.55）=1 725.3≈1 700即所消耗的功率约为 1 700 马力.温馨提示 在用二项式定理求近似值时，要根据题目精确度的要求，合理选取二项展开式的某几项进行求值，特别当 h 很小而 n 又很大时，（1+h）n≈1+nh 是工业计算中经常使用的粗算公式.三、二项式定理的应用——证明不等式【例 3】 证明：2≤(1+ n1 )n＜3(n∈N*)证明：当 n=1 时，（1+1）1=2,当 n＞1 时，（1+ n1 ）n=1+22111nCnCnn+…＞1+1+221nCn ＞2，∴2≤(1+ n1 )n又!11!1!)1()1(1knknnkknnnnCkkkkkn1∴(1+ n1 )n=1+1nC · n1 +2nC ·21n+…+nnC ·nn1≤122121212!1!31!212nn=2+1-121n＜3∴2≤(1+ n1 )n＜3温馨提示证明(1+ n1 )n＜3 还可以有如下的证法：(1+n1 )n≤)1(13212112!1!31!212nnn=nnn1311131212112＜3.在证明过程中，要善于联想数列求和的各种方法.恰当地进行放缩.各个击破【类题演练 1】1+3+32+…+399被 4 除所得的余数为____________.解析：1+3+32+…+399= 21 ［3100-1］= 21 ［(4-1)100-1］= 21 ［0100C·4100-1100C499+…-99100C·41+100100C-1］=8（0100C·498-1100C·497+…+98100C·2-50）∴原式被 4 除所得的余数...