高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数的应用 3.3.2 利用导数研究函数的极值 第1课时 利用导数研究函数的极值学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学学案

第 1 课时 利用导数研究函数的极值 1.了解函数的极大(小)值与导数的关系． 2.理解极大值、极小值的概念．3．掌握不超过三次的多项式函数的极大(小)值的求法． [学生用书 P58]1．极值点与极值概念名称定义表示法极值极大值已知函数 y＝f(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有 f ( x ) ＜ f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极大值记作：y 极大值＝ f ( x 0)极小值已知函数 y＝f(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有 f ( x ) ＞ f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极小值记作：y 极小值＝ f ( x 0)极值点若函数 f(x)在 x0处取得极大值，则把 x0 称为函数 f(x)的一个极大值点；若函数 f(x)在 x0处取得极小值，则把 x0 称为函数 f(x)的一个极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点2.求可导函数 y＝f(x)极值的步骤(1)求导数 f′(x)；(2)求方程 f ′( x ) ＝ 0 的所有实数根；(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数 f′(x)的符号如何变化．如果 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值；如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导数值为 0 的点一定是函数的极值点．( )(2)极大值一定比极小值大．( )(3)函数 f(x)＝无极值．( )答案：(1)× (2)× (3)√2．如图是导函数 y＝f′(x)的图象，在标记的点________处，函数 y＝f(x)有极大值( )A．x2 B．x3C．x5 D．x4答案：B3．函数 y＝1＋3x2－x3的极小值是________，极大值是________． 答案：1 5 求已知函数的极值[学生用书 P58] 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝.【解】 (1)f′(x)＝3x2－6x－9.解方程 3x2－6x－9＝0，得 x1＝－1，x2＝3.当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)10－22因此，当 x＝－1 时函数取得极大值，且极大值为 f(－1)＝10；当 x＝3 时函数取得极小值，且极小值为 f(3)＝－22.(2)函数 f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且 f′(x)＝，令 f′(x)＝0，得 x＝e.当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)故当 x＝e ...