高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例学案 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学学案

3.4 生活中的优化问题举例学习目标：1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．(重、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．生活中的优化问题(1)生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：生活中的优化问题一定要用导数解决吗？[提示] 不一定．例如表示数学问题的函数是一次函数或二次函数时，可不用导数求解．[基础自测]1．思考辨析(1)生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．( )(2)生活中的优化问题必须运用导数解决．( )(3)广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√2．甲工厂八年来某种产品年产量 y 与时间 t(单位：年)的函数关系如图 341 所示：图 341现有下列四种说法：① 前四年该产品产量增长速度越来越快；② 前四年该产品产量增长速度越来越慢；③ 第四年后该产品停止生产；④ 第四年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的有( )A．①④ B．②④C．①③ D．②③B [由图象可知，②④是正确的．]3．电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有关系．y＝x3－x2－40x(x>0)．为使耗电量最小．则速度应定为__________．40 [y′＝x2－39x－40，令 y′＝0 即 x2－39x－40＝0，解得 x＝40 或 x＝－1(舍)．当 040 时，y′>0，所以当 x＝40 时，函数 y＝x3－x2－40x 有最小值．][合 作 探 究·攻 重 难]面积、体积的最值问题 用长为 90 cm、宽为 48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接而成(如图 342)．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？图 342[思路探究] ―→[解] 设容器的高为 x cm，容器的容积为 V(x)cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．所以 V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令 V′(x)＝0，得 x＝10 或 x＝36(舍去)．当 0＜x＜10 时，V′(x)＞0，即 V(x)单调递增；当 10＜x＜24 时，V′(x)＜0，即 V(x)单调递减．因此，在定义域(0,24)内，函数 V(x)只有当 x＝10 时取得最大值，其最大值为 V(10)＝19 600(cm3)．因此当容器的高为 10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为 19 600 cm3...