高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 函数的平均变化率教学案 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学教学案

3．1.1 函数的平均变化率[学习目标] 1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义.2.会求函数 f(x)在 x0到 x0＋Δx 之间的平均变化率.3.掌握求函数 f(x)在 x0到 x0＋Δx 之间的平均变化率的方法与步骤．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答：气球的半径 r(单位：dm)与体积 V(单位：L)之间的函数关系是 r(V)＝，(1)当 V 从 0 增加到 1L 时，气球半径增加了 r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．(2)当 V 从 1L 增加到 2L 时，气球半径增加了 r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的变化率的定义已知函数 y＝f(x)在点 x＝x0及其附近有定义，令Δx＝x－x0；Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．则当 Δx≠0，比值＝叫做函数 y＝f(x)在 x0到 x0＋Δx 之间的平均变化率．2．平均变化率的计算过程↓函数值的改变量 Δy＝y2－y1＝fx2－fx1＝fx1＋Δx－fx1↓要点一 平均变化率例 1 已知函数 h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从 x＝1 到 x＝1＋Δx 的平均变化率，其中 Δx 的值为① 2；② 1；③ 0.1；④ 0.01.(2)根据(1)中的计算，当 Δx 越来越小时，函数 h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1) Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.① 当 Δx＝2 时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；② 当 Δx＝1 时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③ 当 Δx＝0.1 时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④ 当 Δx＝0.01 时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当 Δx 越来越小时，函数 f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算自变量的改变量 Δx＝x2－x1；(2)再计算函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)得平均变化率＝.跟踪演练 1 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值．解 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当 x0＝2，Δx＝0.1 时，函数 y＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12....